高数总结

求极限需要用到的公式和定理

• 极限的四则运算法则
• 两个重要极限
• 等价无穷小替换
• 洛必达法则(就是求导数)
• 夹逼准则
• 单调有界准则：单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限。

求导数用到的公式和定理

• 基本导数公式
• 导数的四则运算法则
• 复合函数求导法则
• 反函数求导法则
• 隐函数求导法则
• 参数方程求导法则
• 高阶导数公式：比如莱布尼茨公式

求积分用到的公式和定理

• 基本积分公式
• 积分的线性性质
• 换元积分法：包括第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。
• 分部积分法
• 有理函数积分
• 定积分的牛顿 - 莱布尼茨公式
• 定积分的性质：比如区间可加性、比较定理、估值定理等。
• 反常积分的审敛法：判断无穷限反常积分和无界函数反常积分的敛散性。

问题汇总

• 拉格朗日中值定理

  • 拉格朗日中值定理在分析函数的性质和解决与函数相关的证明、计算问题中发挥着重要作用。
  • 在以下几类题型中经常被应用：
  • 证明不等式：通过构造合适的函数，可以观察这个不等式表达式的特点，然后将其转化为一个函数；
  • 讨论函数的单调性：结合中值定理确定导数的取值范围，进而判断函数的单调性。
  • 证明函数的恒等式：借助中值定理找到函数在某区间内的导数关系，进而推导函数的恒等式。
  • 研究函数的零点问题：通过中值定理得出函数导数的相关信息，从而分析函数零点的个数或分布情况。
  • 求解极限问题：利用中值定理将函数进行适当的变形，简化极限的计算。

• 中值定理各自的应用场景是什么？

  • 罗尔中值定理：常用于证明导函数的零点存在性
  • 拉格朗日中值定理：证明不等式、讨论函数的单调性、研究函数的零点问题等。
  • 柯西中值定理：常应用于证明与两个函数的导函数比值相关的命题。

• 为什么叫中值定理？

  • “中值”强调了这个特殊点处于给定区间的内部，而非区间的端点，所以就被称为“中值定理”。
  • 比如在拉格朗日中值定理中，存在一个位于区间内的点C，这个c就是区间(a,b)内的一个中间的点;
  • 柯西中值定理中的：点C同样是在区间内的某个中间位置。
  • 罗尔中值定理中存在的：使导数为0的点C也是区间内的中间位置;

• 这三条中值定理是有联系的：柯西定理、拉格朗日中值定理、罗尔定理

  • 柯西定理是->拉格朗日中值定理的儿子(推广)->罗尔定理的儿子(推广);
  • 拉格朗日中值定理有一儿一女
    • 儿子：柯西定理(拉格朗日中值定理由单函数推广为双函数)
    • 女儿：泰勒公式(拉格朗日中值定理的推广，由拉格朗日中值定理从一阶导数推广为N+1阶导)
  • 拉格朗日中值定理是泰勒公式在一阶展开时的特殊情况。当泰勒公式只展开到一阶时，就类似于拉格朗日中值定理所表达的关系。