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线性代数
行列式与矩阵
- 求行列式
- 公式一：2·2的矩阵时，只需要对角两数相乘，再减去另外对角两数相乘的数；
- 公式二：选本身0多的行或列，把选定这一行(或列)的每个数的代数余子式的值相加，假设行列是5✖️5，递归到只有2✖️2的再返回值
- 公式三：某行(或列)加另一行的 k 倍，行列式结果不变，造0之后按公式二的方法求行列式的值；
- 公式四：对角线以下(以上)全为 0 时，行列式的值 = 对角线乘积，也可以通过四则运算把行列式变成对角线以下全为0的行列式，乘以分数也可以；
- 矩阵
- 运算
- 矩阵+矩阵：两个矩阵，对应位置的行和列相加；
- 矩阵乘矩阵：前行乘后列，对应位置 ij✖️ji
- 矩阵·矩阵^−1 = E，𝑬相当于对角线都是1的矩阵其它都是0，与E相乘的矩阵是几行几列“E就是一样的行列”；
- 矩阵的行列式：矩阵找1行(或1列)，转换成多个0的行(或列)，再计算用这行开头的数✖️代数余子式就是矩阵的行列式；
- 逆矩阵、转置、秩
- 矩阵的逆矩阵A^-1：求𝑨的逆矩阵：[𝑨|𝑬]，进行n次两行互换，得到[𝑬|A]就是矩阵A的逆矩阵；
- 矩阵的转置A^t：矩阵中行边列
- 矩阵的秩r(A)：
- 1、两行进行加减运算给开头的列凑零，重复这个步骤，直到开头不能变为零；
- 2、把开头零多的行往下面移动，矩阵中不为0的行有几列，r(𝑨) = 就等于几；
- 矩阵方程(4个步骤求解)
- 1、𝑨𝑿+𝑩𝑿 = (𝑨+𝑩)𝑿，𝑿𝑨+𝑿𝑩 = 𝑿(𝑨+B)
- 2、不存在 矩阵+数字，只存在 矩阵+数字·E，例如
- 𝑨𝑿−2𝑿 = B，(𝑨−2𝑬)𝑿 = B，抽取公共数的时候只剩数字时就要带上E
- 𝑿𝑨−𝑿 = 𝑨，X(𝑨−𝑬) = A
- 3、等式两边可以同时左乘一个矩阵或右乘一个矩阵，目的是相乘变E；
- 4、𝑨^−1 不能随便用，已知 𝑨 可逆 或 证明了 𝑨 ≠0，𝑨^−1 才能用
- 运算
向量与方程组
向量
- 向量组的秩
- 把向量构成矩阵，和“求矩阵的秩”一样
- 极大无关组
- 找向量组的极大无关组，并将其余向量用该极大无关组表示；
- 步骤
- 两行进行加减运算，重复N次把列的值都变成O和1，最后剩下不能转成1的列，除了这一列的向量就都是“极大无关组”；
- r = 极大无关向量组的数量；
- 其余向量用该极大无关组表示：𝜶4 = 𝜶1+3𝜶2，意思是，极大无关组中的向量相加等于其余向量；
- 线性相关与线性无关
- 线性相关：有一个能被其它的组成
- 线性无关：全是小弟，没有大哥
- 方法一：
- 设k1向量1 + k2向量2 + ⋯ + kn向量n = 0
- k1-kn 分别乘以向量组，再把向量组相同的ki相加(k1+k3)·𝜶1
- 方法二：
- 矩阵的秩r()，r(向量组) = 小弟的个数
- 小弟个数小于向量个数，就说明是线性相关；
- 向量内积、模、夹角、正交
- 向量内积：两个向量对应位置相乘再相加的结果就是内积；
- 模(长度)：向量中每个值放在根号里面平方之后再相加就是向量的长度；
- 夹角：(𝜶与𝜷的内积)/(𝜶的长度 × 𝜷的长度) = 夹角，cos(𝜶与𝜷间的夹角) = n
- 正交：设一个γ向量k1、k2、k3，𝜸 与 𝜶 内积 = 0，就可以算出γ向量k1、k2、k3的值；
- 向量的正交规范化
- 先看是对几个向量正交规范化，把公式替换成对应的向量值进行计算就行；
- 只有一个向量就是： ①𝜷1 = 𝜶1，②𝜼1 =(1/𝜷1的长度)·𝜷1
- 有两个向量是：带上只有一个向量的2步骤，①𝜷2 = 𝜶2 - (α1与β1的内积/𝜷1与𝜷1的内积)·𝜷1，②𝜼2 =(1/𝜷2的长度)·𝜷2
- 每多一个向量就加一个公式，根据向量如此累加；
- 向量组的秩
解方程组
- 系数和等式的值组成矩阵，进行矩阵的运算凑0，再算出未知数x1、x2、x3、x4；
- 1、r(系数矩阵) = r(增广矩阵)时，方程组有解
- r(系数矩阵) != r(增广矩阵)时，方程组无解
- 2、如果方程组有解，那么 r(增广矩阵) = 未知数个数时，有唯一解；
- r(增广矩阵) < 未知数个数 时，有无穷多组解
- 3、如果方程组是齐次方程组，那么不用考虑增广矩阵；
- 4、齐次方程组一定有零解 ( 也就是所有未知数都等于0 )。非齐次方程组一定没有零解；
- 求方程组的通解、一组特解，其中 k1, k2 为任意常数；
- 有一些没看，猴博士
相似矩阵与二次型
- 特征值与特征向量
- 特征值：
- 𝑨−λ𝑬 = 0的解，A向量的对角线每个数都减去λ
- 找0多的行(或列)，求代数余子式，再算出λ1、λn的值就是特征值；
- 特征值：
- 二次型对应的矩阵
- 已知二次型，求对应的矩阵，步骤：
- ①矩阵的对角线的值是前面的n个系数(N根据式子来)，
- ②其它对应ij和ji的值是二次型式子的后一个数(系数/2)；
- 用正交变换化二次型为标准型
- 1、求二次型对应的矩阵
- 2、求特征值与特征向量
- 3、二次型的未知数组成的向量和特征值做正交变换，得出的就是二次型的标准型；
- 已知二次型，求对应的矩阵，步骤：