高数

求极限

• 转为∞/∞型0/0型来做

  • ∞/∞型
    • 代入之后结果为∞/∞，有两种解题方法
    • 1、只保留分子和分母中含x的指数最大的项；
    • 2、分子分母同时求导(洛必达法则)；
  • 0/0型
    • 代入之后结果为0/0，有两种解题方法
    • 1、根据下表，把复杂项简化后再算
    • 2、分子分母同时求导(洛必达法则)
  • 1^∞型
    • 结果为1^∞型 (接近1的数∞)
    • lim x→? 底数指数 = lim ex→? 指数·(底数−1)
  • 0·∞型
    • 结果为 0 · ∞ 型 (接近0的数 · ∞)
    • 把式子变成?/?的形式，它就变成0/0型或∞/∞型了

• 左右极限

  • 0正：大于0一点点，0负：小于0一点点
  • 若 左极限 = 右极限 = 不为∞的数 则 函数极限存在，且函数极限 = 左极限 = 右极限；
  • 若为其他情况，则函数极限不存在/函数没有极限；
  • 极限等于∞，也属于极限不存在，极限等于不为∞的数才算极限存在

• 数列极限

  • 分析 an 的取值范围(n->∞时)
    • 
  • 证明 an 的极限存在
    • 
  • 夹逼定理
    • 

• 连续

  • 证明 f(x) 在某点连续
    • 
  • 已知 f(x) 在某点连续，求未知数
    • 
  • 间断点
    • 

求导数

• 导数是函数在某一方向上的变化率。对于一元函数而言，其导数表示该函数在这一个变量方向上的变化情况。
• 照公式求导
  • 
• 隐函数求导
  • 
• 参数方程求导
  • 求Y一撇用公式1，求Y撇撇用公式2
  • 
• 求极值、最值
  • 
• 求凹凸区间与拐点
  • 
• 导数是偏导在一元函数情形下的特殊情况，而偏导是对多元函数各个自变量方向上变化率的具体体现。

求积分

• d可以被理解为“differential”（微分的），表示所涉及的量是一个微小的变化量(或者是进行微分运算的一部分)。

• 例如“dx”“dy”“dv”“dt”等，一眼就能看出是在讨论关于某个变量的微小变化或微分运算。

• 一、二、三重积分有哪些区别，各自对应的场景有哪些？

  • 一重积分：
    • 积分区域：通常是在一条直线上，即一个区间。
    • 被积函数：一般是一元函数。
    • 应用场景：
      • 计算直线段的长度。
      • 计算变速直线运动的路程。
      • 求已知截面面积的立体体积。
  • 二重积分：
    • 积分区域：在一个平面区域内。
    • 被积函数：一般是二元函数。
    • 应用场景：计算平面图形的面积。
  • 三重积分：
    • 积分区域：通常是在一条直线上，即一个区间。
    • 被积函数：一般是三元函数。
    • 应用场景：
      • 计算空间立体的体积。
  • 一维的问题，使用一重积分；涉及平面区域则用二重积分；对于空间区域的问题则需要三重积分。

• 不定积分

  • 不定积分—— 猜
    • 1、先求导，2、再对导数结果积分，3、积分的过程是求导的那个数+C(常数)
    • 比如：(x2)′ = 2x; ∫2x dx = x2+C
  • 不定积分 —— 套公式法
    • 
  • 不定积分 —— 第一类换元法
    • 把原来复杂的积分换成相对简单的积分
    • 
  • 不定积分 —— 第二类换元法
    • 换换换，换图中的式子再解题
    • 
  • 不定积分 —— 分部积分法
    • 

• 定积分

  • 计算定积分 —— 普通定积分
    • 1、先求式子的不定积分+C(常数)，再用这个式子减去定积分的范围就是定积分的答案；
    • x轴上面的面积算作正的，x轴下面的面积算作负的；
    • 
  • 计算定积分 —— 变限积分
    • 替换公式中的值
    • 
  • 计算定积分 —— 利用定积分求面积
    • 
  • 计算定积分 —— 利用定积分求体积
    • x = -2， y = -1；对应图中的做法1和2；
    • 

• 微分方程(有如下5类题型)

  • 微分方程 —— 一阶(只有y′)
    • 求通解，按如下做题步骤：
      • ①把y′变成dy/dx
      • ②把y和dy都放等号左边，x和dx都放等号右边，若做不到则
      • 
      • ③等式两边同时积分
  • 微分方程 —— 可降阶的高阶
    • 根据题型选择两类做题步骤
    • 
  • 微分方程 —— 常系数齐次
    • 
    • 每组r对应的式子，如下图：
    • 
  • 微分方程 —— 常系数非齐次
    • 
  • 微分方程 —— 需要用知识点快速做的小题
    • 两个图是一样的，不同的展示方式
    • 已知齐次线性微分方程的通解y，非齐次线性微分方程的特解y，则非齐次线性微分方程的通解为y+y；
    • 
    • 

证明题

• 按等式和不等式找表中的式子来做
  • 不等式
    • 只含x：单调性
    • 含X1,X2
      • 能一边只有x1,一边只有x2：单调性
      • 有f(?2)-f(?1)形式的式子：拉格朗日中值定理
  • 等式
    • 不含f′
      • 已知两点的f值：零点定理
      • 已知范围内几个点加减后的值：介值定理推论
    • 含f′
      • 证明范围中存在ξ满足要求：罗尔中值定理
      • 证明范围中存在ξ、n满足要求：柯西定理
• 利用单调性证明不等式
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• 利用拉格朗日中值定理证明不等式
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• 利用零点定理证明等式
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• 利用介值定理推论证明等式
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• 利用罗尔中值定理证明等式
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• 利用柯西定理证明等式
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