高数(下)

偏导

• 求偏导

  • 1、求多元函数的偏导
    • 偏导数则是多元函数中，只对其中一个自变量进行求导，而将其他自变量视为常数时得到的导数。
    • 可以把偏导数看作是在多元函数中沿特定坐标轴方向的变化率。
    • 在多元函数中，导数往往不能完整地描述函数的变化情况，而偏导数则能分别刻画函数在各个自变量方向上的局部变化特征；
    • 求偏导的步骤，符号是∂(round)：简单
      • 求总函数关于x的偏导：就把总函数拿过了，只把总函数里面的x当做未知数，其它未知数都当成常数，然后对x求导;
      • 求总函数关于y的偏导：就把总函数拿过了，只把总函数里面的y当做未知数，其它未知数都当成常数，然后对y求导;
  • 2、求多元函数的二阶偏导
    • 求两次偏导，把第一次求偏导的结果，拿来再对未知数求一次偏导；
  • 3、求多元复合函数的偏导
    • 总函数的未知数u/v/w又由其它的未知数方程x/y/z构成；
  • 4、求多元隐函数的偏导
    • z/x/y写在一起了，没法单独提出来，没直接告诉未知数等于什么，
    • 解题步骤：
      • 1、处理隐函数的式子，让式子等于F，再像求偏导一样分别对z/x/y求导；
      • 2、这时候求偏导就需要用到如下两个公式了
      • 

• 全微分及偏导的应用(6种题型)

  • 全微分dZ：
    • 主要聚焦于多元函数在某一点处的微小变化的线性近似表示。用于更精确地描述多元函数的局部变化特性；
    • 这里的“全”强调的是综合了所有自变量的微分信息。全面概括函数局部变化特征的重要地位。
    • 用一个包含所有自变量微分（即微小变化量）的线性组合来近似表示函数的总变化量；
    • 与只考虑单个自变量微分的偏微分相对应，突出了其对多元函数整体微小变化描述的完整性和综合性，所以被称为“全微分”。
  • 1、多元函数的全微分(dZ)
    • 一个公式，
    • 具体有几项，取决于这个Z是由几个未知数构成的，
    • 确定等号右边有几项，剩下的就很简单了；
    • x未知数=>总函数对于x的偏导·dx;
    • y未知数=>总函数对于y的偏导·dy;
  • 2、多元复合函数的全微分
    • 给一个函数，由多个未知数构成，未知数又分别由其它未知数方程构成，然后求d;
    • 还是套用(1)的公式，一步一步的拆解；
  • 3、已知全微分，求未知数
    • 题目告诉，一个某函数的全微分是一个式子，并且式子中有某一个未知数，要确定这个未知数的值；
    • 只需要用前面的两个式子就行
      • 
      • 一个公式，
  • 4、多元函数求极值
    • 给一个多元函数，找出它的极值点，按图中的三个步骤来做就可以；
    • 步骤1：总函数分别对未知数求导，使未知数的偏导同时为0，得出满足同时为0的x和y；
    • 
  • 5、多元隐函数求极值
    • 给一个隐函数(xyz写在一起的函数)，判断z的极值点；
    • 和多元函数求极值类似(也是按照图中的三个步骤来做)；
  • 6、多元函数求最值
    • 给一个多元函数，给一个区间，求这个函数在这个区间上的最大值和最小值；
    • 做题步骤4步：
      • 1、求出两个偏导等于0的解；
      • 2、找出定义域的边界；
      • 3、将1和2的解和边界都代入原函数，求出结果；
      • 4、若有的结果是式子，则求出这个式子的最大取值和最小取值
  • 四个小知识点(需要背下来)
    • ①如果一个多元函数的偏导在某一点连续，那么这个函数在该点可微
    • ②如果一个多元函数在某一点可微，那么这个函数在该点连续
    • ③如果一个多元函数在某一点可微，那么这个函数在该点能偏导
    • ④一个多元函数在某一点连不连续与这个函数在该点能不能偏导无关
    • 上面4句可简化成，偏导连续 (可推出)⟹ 函数可微(可推出)⟹
      • ⟹ 函数连续
      • ⟹ 函数能偏导

向量空间

• 字母上有个箭头就是向量；
• 向量常考的7类问题：
  • 1、求向量的长度|a|：向量的每个数放在根号里面平方再相加；
  • 2、向量间点乘：𝐚⃗ · 𝐚⃗，每个对应位置相乘，再加上其它相乘之后位置的值；
  • 3、求向量间的夹角：|a|·|a|·cosθ
  • 4、求一个向量在另一个向量方向上的投影：向量间点乘(𝐚⃗·𝐚⃗)/第二个向量的长度|a|；
  • 5、向量垂直：两个向量相乘等于0就是垂直，a⊥b = a·b=0
  • 6、向量的叉乘：c = a✖️b，n个未知数放在第一行，随后向量一次排列成矩阵，每个数的代数余子式的值组成的新向量就是叉乘的结果；
  • 7、向量平行：平行就是两个向量的叉乘 = 0；

空间几何

• 第一类问题

  • 1、求过三点的平面方程：将未知数代入式子等于0后算出A/B/C的值，例如，P、Q、R 代入 Ax+By+Cz+D=0
  • 2、判断面与面、面与向量的关系：向量与平面互相垂直(或平行)，{1,2,3}⊥π
  • 3、已知面过一点和其法向量，求面：
    • 平面𝛑𝟏经过点 (1，1，1)，且其法向量𝐧𝟏⃗⃗⃗⃗ ={2，3，4}，求该平面；
    • 2(x−1)+3(y−1)+4(z−1)=0，设x/y/z分别等于经过点，然后用向量对应位置相乘等于0；
  • 4、求点到面的距离：点和面对应位置的数相乘再相加/平面值相加的根号值=点到面的距离；

• 第二类问题

  • 1、求两个面的交线方程：平面π1与平面π2的交线L方程，简单；
  • 2、线与线、线与面的关系：和向量的叉乘用到未知数和代数余子式差不多；
  • 3、已知线过一点和其方向向量，求线：
    • 直线L经过点 (−1，0，4)，且其方向向量𝐬⃗={−3，−6，−15}，求直线 L 的方程。
    • 解答：每个点的值都带上未知数，再除以向对应量位置的值，得出的等式就是结果；
  • 4、求点到线的距离：和上一题刚好相反，知道线的等式和点的向量，

• 第三类问题

  • 1、求曲线在(1，1，1)处的切线方程与法平面方程：简单，相减再除以，构成一个切线方程求解就行；
  • 2、求曲线在(−1，1，2)处的切线方程与法平面方程：曲线对x求导，然后再继续上一题的步骤；
  • 3、求曲面𝐱𝟐+2𝐲𝟐+3𝐳𝟐=21 在(1，−2，2)处的切平面方程与法线方程：简单

积分

• 二重积分

  • 计算 ∫ 𝐝𝐱 ∫ 𝐝𝐲 格式的二重积分
    • ①把未知数都放到右边来，②求导右边的式子，③把右边积分的结果放到左边进行积分；
  • 交换积分次序
    • ①积分区域画在坐标系中，②确定二重积分的上下限，③再重复第一题的步骤就行；
  • 计算∬𝐝𝛔格式的二重积分，D 是由直线 y=1，x=2，y=x 所围成的区域，按照第二题的步骤做就行；
  • 积分区域与圆有关的二重积分
  • 积分区域对称的二重积分

• 三重积分

  • 计算三重积分∫∫∫xdV，其中Ω由平面及三个坐标面围城；
  • 计算三重积分∫∫∫xdV，其中Ω由抛物面x²+y²=4-z与平面z=0围城；

曲线积分和曲面积分

• 曲线积分
  • 第一类曲线积分
    • 设L是圆周𝐱²+𝐲²=2 如下图的一部分，求∫ds
    • 设L是如下图中的直线段 AO，求∫ds
    • 设平面曲线L为圆周𝐱𝟐+𝐲𝟐=1，求曲线积分∮𝐋(𝐱𝟐 + 𝐲𝟐)ds
  • 第二类曲线积分
    • 设L是图中B点到A点的曲线段，BA是𝐱²+𝐲²=2的一部分，A点坐标是(1,1)，求∫𝐋ydx+xdy
    • 当 L:y=y(x)(x:从 a 到 b)时，计算∫𝐋P(x,y)dx+Q(x,y)dy
    • 利用性质计算∫𝑳P(x,y)dx+Q(x,y)dy
• 曲面积分
  • 第一类曲面积分
    • 计算∬𝟏(𝟏+𝐱+𝐲)𝟐ds，其中Σ为平面 x+y+z=1 在第一卦限的部分；
    • 计算∬𝟏(𝟏+𝐱+𝐲)𝟐ds，其中Σ为平面 x+y+z=1 与三个坐标面所围成的立体表面在 xoy 面的部分；
  • 第二类曲面积分
    • 计算∬ 𝐏(𝐱, 𝐲, 𝐳)dydz
      • 计算∬ 𝐱𝐝𝐲𝐝𝐳，其中 Σ 是柱面𝐱𝟐+𝐲𝟐=1 被平面 z=0 及 z=3 所截的在第一卦限部分的外侧，
      • 从 x 正半轴向坐标原点看去时，能看到曲面 Σ；
    • 计算∬ 𝐑(𝐱, 𝐲, 𝐳)dxdy
      • 计算∬ 𝐳𝐝𝐱𝐝𝐲，其中 Σ 是柱面𝐱𝟐+𝐲𝟐=1 被平面 z=0 及 z=3 所截的在第一、二卦限部分的外侧
    • 计算∬ 𝐐(𝐱, 𝐲, 𝐳)dxdz
      • 计算∬ 𝐲𝐝𝐱𝐝𝐳，其中 Σ 是柱面𝐱𝟐+𝐲𝟐=1 被平面 z=0 及 z=3 所截的在第一、二卦限部分的外侧

判断级数和敛散性(简单)

• 级数
  • 级数是指将数列的项依次用加号连接起来的表达式。
  • 级数的收敛性和发散性是研究级数的重要性质，决定了级数的和是否存在有限值。
    • 研究级数的和是否存在有限值有什么意义？
    • 数值计算：确定级数的收敛性可以为数值计算提供理论基础。在使用近似方法计算级数的和时，能判断结果的可靠性和误差范围。
    • 函数表示：一些复杂的函数可以用级数来表示。了解级数的收敛性有助于更有效地利用级数来研究函数的性质，如求导、积分等。
    • 概率论与统计学：在概率分布和统计推断中，某些概率和统计量可以表示为级数形式，级数的收敛性对于得出准确的结论至关重要。
• 发散和收敛
  • 如果一个数列(或级数)随着项数的增加逐渐趋近于一个确定的有限值，那么就称这个数列(或级数)是收敛的;
  • 如果一个数列(或级数)不趋近于一个确定的有限值，而是无限增大或没有固定的趋向，就称其为发散。
• 正项级数和交错级数
  • 正项级数是指级数的每一项都大于零的级数，1,2,3...
  • 交错级数是指级数的各项正负相间的级数，1-1/2+1/3-1/4...
• 绝对收敛/条件收敛
  • 对于一个级数，如果其各项绝对值组成的级数收敛，那么原级数就被称为绝对收敛。
  • 如果一个级数本身收敛，但各项绝对值组成的级数发散，那么这个级数就被称为条件收敛。
• 三类问题：
  • 判断正项级数(∑ 𝐮𝐧)的敛散性
  • 判断交错级数的敛散性
  • 判断绝对收敛/条件收敛

幂级数

• 什么是幂级数
  • 幂级数是一种特殊形式的级数，它由一个变量与一个常数的差的幂次乘以相应的常数系数相加而成。
  • 其核心特点是以某个固定的常数为基准，变量按照幂次依次升高，并与各自对应的系数相乘后进行累加。
  • 幂级数在数学中是研究函数性质和进行函数逼近的有力工具。
• 收敛和收敛半径
  • 说一个级数或函数在某点收敛，意味着当自变量取这个点时，对应的级数或函数的部分和或者极限存在且为有限值；
  • 对于一个幂级数，存在一个正数R，当|x-x0|< R时，幂级数绝对收敛；当|x-x0|>R时幂级数发散。这个正数就称为幂级数的收敛半径;
• 常见的五类问题：
  • 已知幂级数在某点收敛/发散，判断其在另一点敛散性
  • 求幂级数的收敛域
  • 求幂级数的收敛半径
  • 求幂级数在收敛域内的和函数
    • 试求幂级数∑(−𝟏)𝐧𝐱 (|x|<1)的和函数
  • 展成幂级数
    • 将 f(x)= 𝟏/𝟑𝐱−𝟔 展开成(𝐱 − 𝟏)的幂级数